求导基础及常用函数的导数
一些微积分的基础知识。
关于求导
我们对于一个函数所求的导函数实为：基于其图像中的每一点求其斜率的函数表达式。
f‘(x) 表示函数 f(x) 的导函数，那么就有：
h→0limhf(x+h)−f(x)
在熟练了求导过程之后，感性的理解，求导其实类似于一个降次的过程。
而且求导可以进行多次，注意每次求导时常数项会化为 0。
这里放几个普普通通的技巧：
乘法法则
如果 h(x)=g(x)f(x)，则有 h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)。
商法则
如果 h(x)=g(x)f(x)，则有 h′(x)=g(x)2f′(x)g(x)−f(x)g′(x)。
链式求导法则（复合函数）
如果 h(x)=f(g(x))，则有 h′(x)=f′(g(x))g′(x)。
形同 xn 的一般函数
f(x)=xn
h→0limhf(x+h)−f(x)=h(x+h)n−xn
此时考虑对于 h→0 时，任何包含 h 作为系数的多项式都为 0。
那么原式可以化为：
hxn+(1n)xn−1h−xn
所以，我们可以得出导函数为：
f′(x)=nxn−1
三角函数
其实三角函数在OI中的应用并不太广泛。
对 sinx 关于 x 求导
h→0limhf(x+h)−f(x)
对 sin(x+h) 转化：
sin(x+h)=sinxcosh+cosxsinh
带入原式，则：
h→0limhsinxcosh+cosxsinh−sinx
h→0lim(sinx(hcosh−1)+cosx(hsinh))
易知h→0 时，hcosh−1→0 且 hsinh→1，则得：
f′(x)=cosx
对 cosx 关于 x 求导
h→0limhf(x+h)−f(x)
对 sin(x+h) 转化：
cos(x+h)=cosxcosh+sinxsinh
带入原式，则：
h→0limhcosxcosh+sinxsinh−cosx
h→0lim(cosx(hcosh−1)+sinxhsinh)
易知 h→0 时，hcosh−1→0 且 hsinh→1，则得：
f′(x)=sinx
关于 e 的定义
e 即是自然常数，ln 则是以 e 为底数的自然对数。
对于 e 有一个非常著名的公式来作为他的定义：
n→∞lim(1+nr)n=er
而 e 是一个无理数，大概的取值为 2.718281⋯。
据此得出推论：
h→∞lim(1+hx)h=ex
h→0lim(1+xh)h1=ex
对数函数
f(x)=logbx
运用导数定义法我们易知：
f′(x)=h→0limhlogb(x+h)−logbx
h→0limh1logb(xx+h)
h→0limlogb((1+xh)h1)
那么，我们易知：
h→0lim(1+xh)h1=ex1
f′(x)=logb(ex1)=x1logbe
此时运用换底公式：
logba=logcblogca
那么易知：
f′(x)=x1logeblogee=xlnb1
指数函数
f(x)=bx
考虑使用链式求导法则，令 h(x)=x，f(x)=bx，g(x)=logbx。
那么易知：h(x)=f(g(x))，即 blogbx=x，所以得：
h′(x)=f′(g(x))g′(x)
h′(x)=1
g′(x)=xlnb1
联立则有：
f′(logbx)xlnb1=1
f′(logbx)=xlnb
将 logbx 替换为 x，则有：
f′(x)=bxlnb
特别地，令 b=e 时，f(x)=ex，易得：
f′(x)=ex
