牛顿二项式定理

牛顿二项式定理

$(x+y)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} {x}^{k} {y}^{\alpha-k} \tag{0 $\leq$ |x| < |y| }$

​ 我们寻常所知晓的二项式定理其实是对于牛顿二项式定理的特殊情况进行的讨论。

​ 当 $\alpha$ 为正整数 $n$ 时，且对于 $k>n$ 而言，总有 $\binom{n}{k}=0$，那么就有：

$(x+y)^ n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n-k}$

​ 我们考虑做一步转化，令 $z=\frac{x}{y}$。那么可以稍微转化一下公式：

${y}^{\alpha}(1+z)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}{z}^{k}{y}^{\alpha}$

$(1+z)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}{z}^{k}$

​ 考虑如何处理 $\alpha$，我们不妨令其为正整数 $n$ 的相反数，即 $\alpha=-n$，那么就有：

$\binom{\alpha}{k}=\binom{-n}{k}=\frac{(-n)(-n+1)\cdots(-n+k-1)}{k!}=(-1)^{k}\binom{n+k-1}{k}$

​ 带入原式则易知：

$(1+z)^{-n}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{n+k-1}{k}(-z)^{k}$

​ 考虑令 $n=1$，则有：

$\frac{1}{1+z}=\sum_{k=0}^{\infty}(-z)^{k}$

​ 令 $z=-z$ 的话，则有：

$\frac{1}{1-z}=\sum_{k=0}^{\infty}{z}^{k}$

​ 请注意到：$|z|<1$。

​ 上面两式在化解部分等式时是非常具有帮助的，那么只需要考虑有关无穷级数的收敛性问题。